关于论文《“快速递减加权式”在比较法评估房地产价格中
的应用研究》的几点说明

施建刚

编者按:本刊上期刊登的《“快速递减加权式”在比较法评估房地产价格中的应用研究》一文受到了不少读者关注，纷纷来电询问有关模糊数学方面的知识以及该方法应用时的注意点。我们经与作者协商后请作者撰写了本文加以说明。该方法涉及的理工知识较多，一些估价师学习和应用该方法可能有一定难度。但是，一旦掌握了该方法，对估价师今后的估价工作将产生重要影响。由作者本人著的《房地产估价方法的拓展》一书已由同济大学出版社出版，该书对此方法的应用有详细的论述，读者若有兴趣，可电话直接联系：13917200928。

一、模糊数学概述

1965年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(Zadeh L A)教授在《Information and Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”，这标志着模糊数学的诞生。与其他学科一样，模糊数学也是由于实践的需要而产生的。模糊概念(或现象)处处存在。例如，在日常生活中的厚、薄、快、慢、大、小、长、短、轻、重、高、低、稀、稠、贵、贱、强、弱、软、硬、锐、钝、深、浅、美、丑等等都是模糊概念。当代科技发展的趋势之一，就是各个学科领域都要求定量化、数学化。当然也迫切要求模糊概念(或现象)定量化、数学化，这就促使人们必须寻找一种研究和处理模糊概念(或现象)的数学方法。

众所周知，经典数学是以精确性为特征的。然而，与精确性相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要精确，甚至可以认为无误差。例如，要你在某日上午10时到校门口去迎接一个“大胡子、高个子、长发、戴宽边黑色眼镜的中年男人”。尽管这里只提供了一个精确信息——男人，而其他信息都是模糊概念。但是，你将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以精确无误地接到这个人。如果这个问题要利用计算机精确地来处理，那么就要求将此人的准确年龄与身高、胡子、头发的准确长度与根数，眼镜的边宽厘米数，黑色的程度等一一输入计算机，才可以找到此人。如果这个人的头发中途掉了一根的话，计算机就可能找不到这个人了。由此可见，有时太精确了未必一定是好事，甚至可能会带来结果的很大误差。

模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模糊概念(或现象)，也会描述得清清楚楚。由扎德教授创立的模糊数学是继经典数学、统计数学之后数学的一个新发展。统计数学将数学的应用范围从必然现象领域扩大到偶然现象领域，模糊数学则把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的领域。

在人类社会和各个科学领域中，人们所遇到的各种量大体上可以分成两大类：确定性与不确定性，而不确定又可分为随机性和模糊性。人们正是用三种数学来分别研究客观世界中不同的量：

在这种框架内，数学模型可以分为三大类。

第一类是确定性数学模型。这类模型研究的对象具有确定性，对象之间具有必然的关系。最典型的就是用微分法、微分方程、差分方程所建立的数学模型。

第二类是随机性数学模型。这类模型研究的对象具有随机性，对象之间具有偶然性的关系。如用概率分布方法、马氏链所建立的数学模型。

第三类是模糊性数学模型。这类模型所研究的对象与对象之间的关系具有模糊性。这就是上期论文所讨论的模型。

为了弄清两种不确定性，下面介绍两种不确定性之间的区别。

随机性的不确定性，也就是概率的不确定性。例如，“明天有雨”，“掷一骰子出现6点”等，它们的发生是一种偶然现象，具有不确定性。在这里，事件本身是确定的，而事件的发生不确定。只要时间过去，到了明天，“明天有雨”是否发生就变成确定了。“掷一骰子出现6点”，只要实际做一次实验，它就变成确定的了。而模糊性的不确定性，即使时间过去了，或者实际做了一次实验，它们仍然不确定的，具有模糊性，是由概念、语言的模糊性产生的。

模糊数学从诞生至今，已经30多年了。早在1978年，国际上第一本以模糊数学为主题的学术刊物《Fuzzy Sets and Systems》在荷兰创刊了。模糊数学自1976年传入我国后，在我国得到了迅速发展。1980年成立了中国模糊数学与模糊系统学会，1981年创办了《模糊数学》(武汉，华中理工大学等)杂志，1987年创办了《模糊系统与数学》(长沙，国防科技大学)杂志。我国已经成为模糊数学研究的四大中心(美国、西欧、日本、中国)之一。

模糊数学是一个新兴的数学分支。它应用微积分、线性代数、概率论和数理统计等理论和方法来研究和处理日常生活中遇到的一些难以定量化的模糊概念。

人们常把数学称为精确科学，因为它处理的都是精确概念，数量分明，要求准确。但是日常生活中却有一些模糊概念，外延不分明，数量难确定，过去一直无法应用数学方法去处理，这种现象在房地产估价、土地管理科学中也是处处可见。随着数学学科的发展，模糊数学的诞生，模糊概念已可能在一定的精确（甚至非常精确）程度上定量化，从而用数学方法去处理。

模糊数学自诞生以来，围绕其学科本身及其在各方面的应用，已有了长足的进展。如模糊优化、模糊决策等许多方面，发展十分迅速。模糊理论的主要特点是能定量地处理定性确定的种种模糊因素。

二、择近原则

模糊数学在房地产比较法评估中的应用，其择近原则尤为重要

设在论域U={ x₁,x₂,…,x_n}上有m个模糊子集 (m个模型)，构成了标准模型库。被识别的对象 也是一个模糊集， 与 中的哪一个最贴近？这就是一个模糊集对标准模糊集的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊集的贴近程度问题。

1、贴近度

先把模糊向量的内积与外积推广到无限论域U上，内积与外积的简单性质对无限论域U上的模糊集也成立。

由模糊集的内积与外积的性质可知，单独使用内积或外积还不能完全刻划两个模糊集 _、 之间的贴近程度。模糊集的内积与外积都只能部分地表现两个模糊集的靠近程度。现在从直观上进一步说明这一点。在图1中所表示的两个模糊集 _、 交点的纵坐标(隶属度)越大时，则与越靠近，而内积 正是表现了模糊集与交点的纵坐标(隶属度μ)。在图2中所表示的两个模糊集与交点的纵坐标(隶属度μ)越小时，则与越靠近，而外积 ⊙ = 正好表现了这一点。

综上所述，内积越大，模糊集越靠近；外积越小，模糊集也越靠近。因此，可用二者相结合的“贴近度”来刻划两个模糊集的贴近程度较为适合。
设，是论域U上的模糊子集，则称

为与的贴近度。可见，当s₀(A,B)越大(从而 · 越大， ⊙ 越小)时，与越贴近。

贴近度描述了模糊集之间彼此贴近的程度，实际上，由于所研究问题的性质不同，进一步研究还有其他的贴近度方法。但是，经过多宗估价实例的应用，发现式（1）的表示方法更适用于房地产的估价。

2、择近原则

设论域U上有m个模糊集，构成一个标准模型库, ÎΓ(U)为待识别的模型。若存在i₀Î{1，2,…， m }，使得

                 (2)

则称 与 最贴近，或者说把 归并到 类。

3、多个特性的择近原则

设论域U上有两个模糊向量集合族

则 与 的贴近度定义为

                                                 （3）

三、关于公式中的问题

上期的论文研究了正确运用比较法时，估价师所面临的两个需要解决的棘手问题：一是如何选择与待估房地产条件相似的交易实例，二是如何确定待估房地产的价格。而模糊数学在对象的相似程度识别方面，引进了贴近度的概念，对象越相近，贴近度越大，这样可以解决比较法中如何选择与待估房地产最相似的交易实例的问题。进一步研究发现，将待估房地产与交易实例之间的贴近度的大小转化为权数，并成功地建立了“快速递减加权式”，独创性地解决比较法的第二个难题。所述内容具有充分的理论依据和较强的应用价值，对拓展房地产估价方法，准确评估房地产价值具有推广应用价值。

1、关于计算符号

设已有n个房地产交易实例的资料 用 表示第i个房地产交易实例的特征向量， ，即各相关资料的分值，可用“评估设想结果法”进行逐项控制（在《房地产估价方法的拓展》专著中叙述，施建刚著）。 为内积运算； ⊙ 为外积运算； 为取大运算，如： =0.9； 为取小运算，如： =0.8。

2、公式中的注意点

利用贴近度计算公式可计算待估房地产的 与房地产交易实例 的贴近度为 。 有可能出现相同的数值，这时可利用模糊关系系数的大小来排序：      

                             （4）

然后从大到小排序，记为 ，一般情况下， ，但必须 。相应的房地产交易实例价格（修正后）为 。即与待估房地产最相似的（贴近度最大）交易实例的价格为 ，次相似的为 ，依次类推，最不相似的为 。

相似程度高的交易实例，其权值就大，因而所起的调整作用也大；相似程度低的交易实例，其权值就小，因而所起的调整作用也小。用相似程度的大小来控制相应交易实例的调整作用，这显然是非常有道理的。

在实际工作中，考虑到权值是呈指数级递降的，衰减非常大，贴近度为第四的交易实例的权值已经相当小，一般可以忽略，所以通常只要取最相似的三个交易实例就完全满足要求了。这就使得评估模型大为简化为：                                                                    （5）

式中， 为修正系数，由于待估房地产与各交易实例之间只是相似，而不是完全相同，即存在着差异，且确定特征向量的隶属函数时也有误差，所以应对计算结果进行修正。这种修正主要是根据房地产估价师的评估经验，有时主要是评估策略上的修正，如政策变化、市场供求状况、顾客成交的迫切程度，愿承担的风险大小因素，均应作为决定评估结果需要考虑的因素。一般取值在0.95--1.05。

3 结语

对各估价师来说，只要掌握其应用即可，其原理只需作一般了解。本文所建立的“快速递减加权式”，已在许多大型楼宇价格评估中应用，获得国家有关部门的充分肯定。由于这些楼宇价格评估项目较大，为便于阐述此方法的应用，上期论文仅以浙江海宁某厂一车间（建筑物）为例进行评估。本方法适用于市场比较法中任何估价，但本人建议对于估价值较小的案例（1亿元）不一定采用，而估价值较大的案例（3亿元）则积极推荐此方法，它远远优于目前国内外普遍使用的传统评估方法，而且该法的评估精度要比传统评估法的精度要高出50%以上。

（作者：上海同济大学经济与管理学院，教授、博士生导师）